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Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultšt

Christian-Albrechts-Universität zu Kiel

Mathematisches Seminar | Prof. Dr. Bergweiler

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Analytische Zahlentheorie

Vorlesung im Sommersemester 2013

Vorlesungstermine: Mi, 10.15-11.45, Raum 124; Fr, 10.15-11.45, Raum 124
Übungstermin: Di 14.15-15.45, Raum 116
(Bei entsprechendem Wunsch der Vorlesungsteilnehmer können die Termine auch verlegt werden.)


Inhalt: In der analytischen Zahlentheorie untersucht man zahlentheoretische Fragestellungen mit Methoden der Analysis. Es wird eine Einführung in dieses Gebiet gegeben.
Im 1. Kapitel beschäftigen wir uns mit dem Zusammenhang zwischen einer Zahlenfolge \((a_n)_{n\geq 0}\) und der Potenzreihe \[\sum_{n=0}^\infty a_n x^n,\] die man erzeugende Funktion der Folge nennt. Wir betrachten hier verschiedene Beispiele, beginnend mit der Fibonacci-Folge 1,1,2,3,5,8,13,21,...
Im 2. Kapitel untersuchen wir, auf wie viele Arten sich eine natürliche Zahl \(n\) als Summe kleinerer natürlicher Zahlen schreiben lässt. Für die Anzahl \(p(n)\) dieser Partitionen zeigen wir mit Hilfe der erzeugenden Funktion, dass \[ p(n)\sim \frac{1}{4\sqrt{3} n} e^{\displaystyle\pi\sqrt{2n/3}} \] für \(n\to\infty\), wobei wir \(a_n\sim b_n\) schreiben, falls \(a_n/b_n\to 1\).
Im 3. Kapitel betrachten wir Primzahlen und insbesondere die Anzahl \(\pi(n)\) der Primzahlen kleiner oder gleich \(n\). Unter anderem beweisen wir den Primzahlsatz, welcher besagt, dass \[ \pi(n)\sim \frac{n}{\log n} \] für \(n\to\infty\).


Voraussetzungen: Zum Verständnis des 1. Kapitels genügen Analysis I und II. In den beiden folgenden Kapiteln werden aber auch Ergebnisse der Analysis III benötigt (etwa der Satz von Lebesgue über majorisierte Konvergenz). Außerdem sind dort Kenntnisse der Analysis IV erforderlich, die aber auch parallel erworben werden können. In Kapitel 2 reichen dabei Grundkenntnisse der Analysis IV, aber im zweiten Teil des 3. Kapitels werden etwas fortgeschrittenere Kenntnisse benötigt.


Literatur: D.J. Newman: Analytic Number Theory. Springer, 1998.
Weitere Literatur wird in der Vorlesung angegeben.


Meine handschriftlichen Notizen zur Vorlesung sind hier. Es gibt die einzelnen Kapitel auch separat: Kapitel 1, Kapitel 2, Kapitel 3, Funktionalgleichung der Zetafunktion. Außerdem gibt es eine Vorlesungausarbeitung von Sönke Haushahn.


Aufgabenblätter: Serie 1, Serie 2, Serie 3, Serie 4, Serie 5, Serie 6, Serie 7, Serie 8.